怎么证明平行四边形

第一篇：怎么证明平行四边形

怎么证明平行四边形

在平行四边形abcd中，ae，cf，分别是∠dab、∠bcd的平分线，e、f点分别在dc、ab上，求证：四边形afce是平行四边形

证明：∵四边形abcd为平行四边形;

∴dc‖ab;

∴∠eaf=∠dea

∵ae，cf，分别是∠dab、∠bcd的平分线;

∴∠dae=∠eaf;∠ecf=∠bcf;

∴∠eaf=∠cfb;

∴ae‖cf;

∵ec‖af

∴四边形afce是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

2

1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..

3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

第二篇：证明平行四边形

证明平行四边形

如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe。已知∠bac=30º，ef⊥ab，垂足为f，连结df。

求证：四边形adfe是平行四边形。

设bc=a,则依题意可得：ab=2a,ac=√3a,

等边△abe,ef⊥ab=>af=1/2ab=a,ae=2a,ef=√3a

∵∠daf=∠dac+∠cab=60°+30°=90°,ad=ac=√3a,∴df=√(ad²+af²)=2a

∴ae=df=2a,ef=ad=√3a=>四边形adfe是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

2

1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..

3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四(收藏好 范 文，请便下次访问WWW.)边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形abcd中(如图)e为ab的中点，则ac和de互相三等分，一般地，若e为ab上靠近a的n等分点，则ac和de互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形abcd中，ac、bd是平行四边形abcd的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法一、连接对角线或平移对角线。二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则s平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“s”表示平行四边形的面积，则s平行四边形=ab*sin@2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平” ……此处隐藏1292个字……行四边形的两组对边分别相等。

推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等。

推论1：夹在两条平行线间的垂线段相等。

定理2：平行四边形的对角线互相平分。

4、 中心对称图形定义 对称中心

性质：对称中心平分两个对称点的线段。（在平面直角坐标系中，点（x，y）关于原点对称的点的坐标是多少？为什么？）

5、 平行四边形的判定

①定义②定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

6、三角形的中位线定理（如何证明？）

7、逆命题与逆定理

两个命题，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 每个命题都有逆命题。每个定理都有逆命题。如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。

因此，每个命题有逆命题；每个定理有逆命题，但不一定有逆定理。

1. （2014浙江金华，15，4分）如图，在□abcd中，ab＝3，ad＝4，∠abc＝60°，过bc的中点e作ef⊥ab，垂足为点f，与dc的延长线相交于点h，则△def的面积是

.

3. （2014四川成都，20,10分） 如图，已知线段ab∥cd，ad与bc相交于点k，e是线段ad上一动点.

5cd1

(1)若bk=2kc，求ab的值；(2)连接be，若be平分∠abc，则当ae=2ad时，猜想线段ab、

bc、cd三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当ae=nad (n?2)，而其余条件不变时，线段ab、bc、cd三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

6、如图，已知△abc中，?abc?45， f是高ad和be的交点，cd?4，则线段df的长度为（）.

a

．b． 4c

．d

．

?

第五篇：命题与证明 平行四边形练习

典型例题剖析

例1、将下列各句改写成“如果……，那么……”的形式．

（1）对顶角相等；

（2）等角的余角相等；

（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

（4）同旁内角互补，两直线平行；

分析：

省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了．

解：

（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

（2）如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；

（3）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；

（4）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；

例2、指出下列命题的条件部分和结论部分

（1）直角都相等；

（2）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；

（3）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

（4）大于90°而小于180°的角是钝角；

（5）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角．

分析：

解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白条件与结论所表示的意思．便可找出条件与结论．对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论．命题的条件与结论不好用文字叙述时，要用符号写出条件和结论，但必须说明符号所表示的意义．

解：（1）条件：两个角都是直角；

结论：这两个角相等．

（2）条件：互为邻补角的两个角的两条平分线；

结论：这两条角平分线互相垂直．

（3）条件：直线外一点与直线上各点连结的所有线段；

结论：垂线段最短．

（4）条件：90°＜∠

结论：∠＜180°； 是钝角．

（5）条件：两个角的和等于平角；

结论：这两个角互补．

例3、判断下列命题的真假，如果是假命题，请说明理由．

（1）两点之间，线段最短．

（2）如果一个数的平方是9，那么这个数是3．

（3）同旁内角互补．

（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

（5）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．

（6）两个锐角的和是锐角．

分析：

要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可．于是以上各题真假便眉目分明了． 解：

（1）真命题，这是关于线段的一个公理．

（2）假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是－3．

（3）假命题，任意二条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三直线所截，才有同旁内角互补的结论．

（4）假命题，如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行．

（5）假命题，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a＝2≠0，b=－2≠0．

（6）假命题，如60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角．

例4、区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理：

（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；

（2）两点之间，线段最短；

（3）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；

（4）对顶角相等；

（5）垂线段最短．

分析：

只要理解定义，公理，定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理．

解：(1)、(2)是公理；(3)是定义；(4)、(5)是定理．

例5、完成以下证明，并在括号内填写理由：

已知：如图所示，∠1=∠2，∠a=∠3.

求证：ac∥de.

例6、如下图，∠acd是△abc的外角，be平分∠abc，ce平分∠acd，且be、ce交于点e

．求证：

．

例7、如图，ce是△abc的外角∠acm的平分线，ce交ba的延长线于点e，试说明∠bac＞∠b成立的理由

.

例8、已知：如图ad为∠abc的角平分线 e为bc的中点过e作ef∥ ad，交ab于m，交ca延长线于f。 cn∥ ab交fe的延长线于n。

求证：

bm=cf

例9、求证：没有一个有理数的平方等于3

例10、求证：三角形的三条边的垂直平分线交于一点

例11、求证：等腰三角形的底角是锐角